Question

已知二次函數f（x）滿足f（0）=3，f（3）=f（-1）=0．
（1）求函數f（x）的解析式，并求函數f（x）的單調區間；
（2）若x∈[-2，5），求函數的值域．

Answer 1

分析：（1）利用條件f（0）=3，f（3）=f（-1）=0，建立方程關系，求解a，b，c即可．
（2）將二次函數進行配方，結合函數的圖象，得到函數的值域．

解答：解：（1）依題意設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
因為f（0）=3，f（3）=f（-1）=0，
所以c=3，f（3）=9a+3b+3=0，f（-1）=a-b+3=0．
解得 a=-1，b=2，c=3．
所以函數解析式為f（x）=-x²+2x+3．對稱軸x=1，
所以函數增區間為（-∞，1]，減區間為[1，+∞）．
（2）由（1）得函數f（x）=-x²+2x+3圖象關于直線x=1對稱f（1）=4，
f（-2）=-5，f（5）=-12
所以若x∈[-2，5），函數的值域為（-12，4]．

點評：本題主要考查利用待定系數法求二次函數的解析式，以及二次函數的圖象和性質．