Question

（2012•西城區(qū)一模）在△ABC中，已知sin（A+B）=sinB+sin（A-B）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若|

BC

| =7，

AB

•

AC

=20，求|

AB

+

AC

|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將已知等式移項(xiàng)變形并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后根據(jù)sinB不為0，得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式|

BC

|²=|

AB

|²+|

AC

|²-2|

AB

|•|

AC

|•cosA，將已知條件利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后代入求出|

AB

|²+|

AC

|²的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展開，將各自的值代入開方即可求出值．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）原式可化為：sinB=sin（A+B）-sin（A-B）
=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，…（3分）
∵B∈（0，π），∴sinB＞0，
∴cosA=

1

2

，…（5分）
又A∈（0，π），∴A=

π

3

；…（6分）
（Ⅱ）由余弦定理，得|

BC

|²=|

AB

|²+|

AC

|²-2|

AB

|•|

AC

|•cosA，…（8分）
∵|

BC

|=7，

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosA=20，
∴|

AB

|²+|

AC

|²=89，…（10分）
∵|

AB

+

AC

|²=|

AB

|²+|

AC

|²+2

AB

•

AC

=89+40=129，…（12分）
∴|

AB

+

AC

|=

129

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，以及向量模的計(jì)算，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．