Question

（2012•西城區一模）已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a_k∈{0，1，2}（k=0，1，2，3），且a₃≠0．則A中所有元素之和等于（　　）

A．3240

B．3120

C．2997

D．2889

Answer 1

分析：由題意可知a₀，a₁，a₂各有3種取法（均可取0，1，2），a₃有2種取法，利用數列求和即可求得A中所有元素之和．

解答：解：由題意可知，a₀，a₁，a₂各有3種取法（均可取0，1，2），a₃有2種取法，
由分步計數原理可得共有3×3×3×2種方法，
∴當a₀取0，1，2時，a₁，a₂各有3種取法，a₃有2種取法，共有3×3×2=18種方法，
即集合A中含有a₀項的所有數的和為（0+1+2）×18；
同理可得集合A中含有a₁項的所有數的和為（3×0+3×1+3×2）×18；
集合A中含有a₂項的所有數的和為（3²×0+3²×1+3²×2）×18；
集合A中含有a₃項的所有數的和為（3³×1+3³×2）×27；
由分類計數原理得集合A中所有元素之和：
S=（0+1+2）×18+（3×0+3×1+3×2）×18+（3²×0+3²×1+3²×2）×18+（3³×1+3³×2）×27
=18（3+9+27）+81×27
=702+2187
=2889．
故選D．

點評：本題考查數列的求和，考查分類計數原理與分步計數原理的應用，考查分類討論與轉化思想的綜合應用，屬于難題．