Question

已知函數y=

sin2x+1

sinx

，則該函數的值域為（　�。�

• A、[-1，1]
• B、[-2，2]
• C、（-∞，-2]∪[2，+∞）
• D、（-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

分析：設 sinx=t，t∈[-1，1]，且t≠0，利用單調性求出當 0＜t≤1時，y≥2，同理求得-1≤t＜0 時，y≤-2，從而求得函數y的值域．

解答：解：函數y=

sin2x+1

sinx

=sinx+

1

sinx

，設 sinx=t，t∈[-1，1]，且t≠0，
則 y=t+

1

t

，t∈[-1，1]，且t≠0，故函數y為奇函數．
當 0＜t≤1時，函數y為單調減函數，故 t=1時，函數y取得最小值等于2，此時，y≥2．
根據奇函數 的性質可得，-1≤t＜0 時，y≤-2，故函數y的值域為 （-∞，-2]∪[2，+∞），
故選C．

點評：本題考查正弦函數的值域，函數y=t+

1

t

，t∈[-1，1]且t≠0  的單調性和值域的求法，求得當0＜t≤1時，y≥2，是解題的關鍵．