Question

（本小題滿分12分）

已知函數，

（Ⅰ）討論函數的單調區間和極值點；

（Ⅱ）若函數有極值點，記過點與原點的直線斜率為。是否存在使？若存在，求出值；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）不存在使過點與原點的直線斜率。

【解析】

試題分析：（1）因為                 (1分)

所以， 恒成立。因此 （3分）

在

因此 （5分）

（2）由（1）可知，在存在極小值.

∴,由條件

∴               (7分)

（注：此處也可以用換元法，轉證t-lnt=0（t=a/3）無解。采分相同）

設（）                   (8分)

時，且當時，遞減；

當時，遞增；              (10分)

在處取得最小值，；無零點.

即無解，

所以不存在使過點與原點的直線斜率     （12分）

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性及極值。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（2）通過研究函數的極值情況，確定得到含a的方程，通過研究方程解的有無，明確a的存在性。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。