Question

若函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：由奇函數(shù)和增函數(shù)的性質(zhì)可得k=1，a＞1，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，求導(dǎo)后綜合研究選項可得答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函數(shù)
則f（-x）+f（x）=0，即ka^-x-a^x+ka^x-a^-x=0，故（k-1）（a^x-a^-x）=0，解得k=1，
又∵函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，所以a＞1，
因此函數(shù)f（x）=a^x-a^-x，（a＞1），求其導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=（a^x+a^-x）lna，
可知f′（0）=2lna＞0，而四個選項中僅有B滿足，
故選B

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，涉及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的圖象，屬中檔題．