Question

集合C={f（x）|f（x）是在其定義域上的單調增函數或單調減函數}，集合D={f（x）|f（x）在定義域內存在區間[a，b]，使得f（x）在a，b上的值域是[ka，kb]，k為常數}．
（1）當k=

1

2

時，判斷函數f（x）=

x

是否屬于集合C∩D？并說明理由．若是，則求出區間[a，b]；
（2）當k=

1

2

0時，若函數f（x）=

x

+t∈C∩D，求實數t的取值范圍；
（3）當k=1時，是否存在實數m，當a+b≤2時，使函數f（x）=x²-2x+m∈D，若存在，求出m的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）y=

x

的定義域是[0，+∞），在[0，+∞）上是單調增函數，設y=

x

在[a，b]的值域是[

a

，

b

]，能求出區間是[a，b]．
（2）設g（x）=

x

+t，則g（x）是定義域[0，+∞）上的增函數，由g（x）∈C∩D，知存在區間[a，b]?[0，+∞），滿足g（a）=

1

2

a，g（b）=

1

2

b，由此能求出實數t的取值范圍．
（3）由f（x）=x²-2x+m∈D，且k=1，知當a＜b≤1時，f（x）在[a，b]上單調遞減，由此能推導出m的范圍．

解答：解：（1）y=

x

的定義域是[0，+∞），
∵y=

x

在[0，+∞）上是單調增函數，
設y=

x

在[a，b]的值域是[

a

，

b

]，
由

a = 1 2 a b = 1 2 b

，解得

a=0 b=4

，
故函數y=

x

屬于集合C∩D，且這個區間是[0，4]．
（2）設g（x）=

x

+t，則g（x）是定義域[0，+∞）上的增函數，
∵g（x）∈C∩D，∴存在區間[a，b]?[0，+∞），滿足g（a）=

1

2

a，g（b）=

1

2

b，
∴方程g（x）=

1

2

x在[0，+∞）內有兩個不等實根，
方程

x

+t=

1

2

x在[0，+∞）內有兩個不等實根，
令

x

=m，則其化為m+t=

1

2

m2，
即m²-2m-2t=0有兩個非負的不等實根，
∴

△=4+8t＞0 x1+x2=2＞0 x1x2=-2t≥0

，解得-

1

2

＜t≤0．
（3）f（x）=x²-2x+m∈D，且k=1，
∴當a＜b≤1時，f（x）在[a，b]上單調遞減，

b=m-2a+a2 a=m-2b+b2

，
兩式相減，得a+b=1，
∴

1-a=m-2a+a2 1-b=m-2b+b2

，

0=m-1-a+a2 0=m-1-b+b2

，
∴方程0=m-1-x+x²在x≤1上有兩個不同的解，
解得m∈[1，

5

4

）．

點評：本題考查二次函數的性質的應用，綜合性強，難度大，對數學思維的要求較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．