Question

已知函數f（x）為定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=-x²+2x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在區間[-1，a]（a＞-1）上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義即可求函數f（x）的解析式．
（2）根據函數的解析式，先畫出圖象，然后對a（要考慮函數的解析式及單調性）進行分類討論即可求出函數的值域．

解答：（1）當x＞0時，f（x）=-x²+2x，
又f（x）為奇函數，則當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（-x²-2x）=x²+2x，又f（0）=0
故f(x)=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+2x，x＜0

．
（2）結合f（x）的圖象，f（-1）=-1，由

a＞0 f(a)=-1

得a=1+

2

．
①當-1＜a≤1時，函數在[-1，a]單調遞增，值域為[-1，f（a）]．
又x＞0，f（x）=-x²+2x，x＜0，f（x）=x²+2x．
則-1＜a≤0時，值域為[-1，a²+2a]，0＜a≤1時，值域為[-1，-a²+2a]．
②當1＜a≤1+

2

時，函數在[-1，1]上單調遞增，在[1，a]上單調遞減．
最小值在x=-1處取得，最大值在x=1處取得，此時值域為[-1，1]．
③當a＞1+

2

時，函數在[-1，1]上單調遞增，在[1，a]是單調遞減．
最大值在x=1處取得，最小值在x=a處取得．
此時函數的值域為[-a²+2a，1]．
綜上所述：當-1＜a≤0時，值域為[-1，a²+2a]；
          當0＜a≤1時，值域為[-1，-a²+2a]；
          當1＜a≤1+

2

時，值域為[-1，1]；
          當＞1+

2

時，函數的值域為[-a²+2a，1]．

點評：掌握奇函數的定義和靈活的利用分類討論是解題的關鍵．