Question

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．

(1)求證：平面；

(2)求三棱錐的體積

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析    (2)

【解析】（1）連結，如圖，

∵、分別是、的中點，是矩形，

∴四邊形是平行四邊形，

∴．            --------2分

∵平面，平面，

∴平面．-------------------6分

（2）解法1  連結，∵正方形的邊長為2，

，∴，，，則，

∴．            --------------------------------------------------------8分

又∵在長方體中，，，且，

∴平面，又平面，

∴，又，

∴平面，即為三棱錐的高． ----------10分

∵，

∴． --------------------------------14分

解法2： 三棱錐是長方體割去三棱錐、三棱錐、三棱錐、三棱錐后所得，而三棱錐、、、是等底等高，故其體積相等．

．