Question

（本小題滿分16分）

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，

（1）求到點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程。

（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，又直線交于點(diǎn),若，

求線段的長(zhǎng)；

（3）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線交直線于點(diǎn)，且和橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）. 

（2）|． 

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意．

由已知得 ①

 ②

橢圓C：   ③

由①②解得，．

由①③解得，．            

∴，

．

故可得滿足題意．                                

 

【解析】第一問，由橢圓方程為

可得，，，

 ，．     

設(shè)，則由題意可知，

化簡(jiǎn)得點(diǎn)G的軌跡方程為

第二問中，由題意可知，故將代入，

可得，從而

第三問中，假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意．由已知得 ① ②

橢圓C：由①②解得，．

由①③解得，

結(jié)合向量的數(shù)量積得到結(jié)論。

解：（1）由橢圓方程為

可得，，，

 ，．     

設(shè)，則由題意可知，

化簡(jiǎn)得點(diǎn)G的軌跡方程為.  …………4分

（2）由題意可知，

故將代入，

可得，從而．   ……………8分

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意．

由已知得 ①

 ②

橢圓C：   ③

由①②解得，．

由①③解得，．              ………………………12分

∴，

．

故可得滿足題意．                                  ………………………16分