【題目】已知函數
在
處取得極小值
．
（1）求實數
的值；
（2）設
，討論函數
的零點個數．
【答案】（1）
（2）當
時，函數
沒有零點；當
時，函數有一個零點；當
時，函數有兩個零點.
【解析】
（1）求出函數的導數結合導數與極值之間的關系得到
，求解即可得到結果；（2）求出函數的導數，研究函數的極值和單調性，根據最值的符號，分別討論在各個區間內的零點個數.
（1）函數
的定義域為
，
函數
在
處取得極小值
，得
當時，
則
時，
；當
時，
在
上單調遞減，在
上單調遞增
時，函數取得極小值，符合題意
（2）由（1）知，函數
，定義域為
則：
令
，得
；令
，得
在
上單調遞減，在
上單調遞增
當
時，函數取得最小值
當
，即時，函數沒有零點；
當
，即時，函數有一個零點；
當
，即時，
存在
，使
在
上有一個零點
設
，則
當時，
，則
在上單調遞減
，即當時，
當時，
取
，則
存在
，使得
在
上有一個零點
在上有兩個零點，
綜上可得，當時，函數沒有零點；當時，函數有一個零點；當時，函數有兩個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓C經過M（
，1），N（
，1）兩點，且圓心C在直線x+y﹣3＝0上，過點A（﹣1，0）的動直線l與圓C相交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）當|PQ|＝4
時，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
和橢圓
. 直線
與橢圓
交于不同的兩點
.
(Ⅰ) 求橢圓的離心率；
(Ⅱ) 當
時，求
的面積；
（Ⅲ）設直線
與橢圓的另一個交點為
，當為中點時，求
的值 .
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某種細菌的適宜生長溫度為
，為了研究該種細菌的繁殖數量
（單位：個）隨溫度
（單位：
）變化的規律，收集數據如下：
溫度 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
繁殖數量 | 20 | 25 | 33 | 27 | 51 | 112 | 194 |
對數據進行初步處理后，得到了一些統計量的值，如下表所示：
|
|
|
|
|
|
|
18 | 66 | 3.8 | 112 | 4.3 | 1428 | 20.5 |
其中
，
.
（1）請繪出關于的散點圖，并根據散點圖判斷
與
哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數量關于的回歸方程類型（結果精確到0.1）；
（2）當溫度為
時，該種細菌的繁殖數量的預報值為多少？
參考公式：對于一組數據
，其回歸線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
.參考數據：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】空氣質量指數AQI是一種反映和評價空氣質量的方法，AQI指數與空氣質量對應如表所示：
AQI | 0～50 | 51～100 | 101～150 | 151～200 | 201～300 | 300以上 |
空氣質量 | 優 | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
如圖是某城市2018年12月全月的AQI指數變化統計圖：
根據統計圖判斷，下列結論正確的是（ ）
A. 整體上看，這個月的空氣質量越來越差
B. 整體上看，前半月的空氣質量好于后半個月的空氣質量
C. 從AQI數據看，前半月的方差大于后半月的方差
D. 從AQI數據看，前半月的平均值小于后半月的平均值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩焦點為
，
，且過點
，直線
交曲線于
，
兩點，
為坐標原點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若不過點且不平行于坐標軸，記線段
的中點為
，求證：直線
的斜率與的斜率的乘積為定值；
（3）若直線過點
，求
面積的最大值，以及取最大值時直線的方程．
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