Question

有甲、乙2名老師和4名學生站成一排照相．
（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，共有多少種不同的排法？
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，共有多少種不同的排法？
（3）甲、乙兩名老師不能相鄰，共有多少種不同的排法？
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學，共有多少種不同的排法？
（5）甲老師不能站在首位，乙老師不能站末位，共有多少種不同的排法？
（6）同學丙不能和甲、乙兩名老師相鄰，共有多少種不同的排法？（必須寫出解析式再算出結果才能給分）

Answer 1

分析：（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，則甲和乙站在兩端，4名學生在中間排列，共有A₄⁴A₂²種結果．
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，則可以把兩名教師看做一個元素，同4名學生進行排列，注意教師之間還有一個排列
（3）兩名教師不能相鄰，可以先排列學生，有A₄⁴種結果，再在學生形成的5個空中排列兩名教師，有A₅²種結果，根據分步計數(shù)原理知共有24×20種結果．
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學，則從4名學生中選兩個排列在教師之間，兩名教師和2個學生組成一個元素同另外2個元素進行排列．
（5）分成兩種情況甲站在右端有A₅⁵=120種結果，甲不在右端，甲有4種情況，乙也有4種結果，余下的4個人在四個位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384種結果，相加得到結果．
（6）甲、乙都不與丙相鄰，可用排除法計數(shù)，計算出甲乙兩人至少有一人與丙相鄰的種數(shù)，從總數(shù)中減去．

解答：解：（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，則甲和乙站在兩端，4名學生在中間排列，共有A₄⁴A₂²=48種結果．
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，則可以把兩名教師看做一個元素，
同4名學生進行排列，注意教師之間還有一個排列，共有A₅⁵A₂²=240種結果
（3）由題意知兩名老師不能相鄰，可以先排列學生，有A₄⁴=24種結果，
再在男生寫出的5個空中排列兩名老師，有A₅²=20種結果，
根據分步計數(shù)原理知共有24×20=480種結果
即兩名老師不能相鄰的排列方法有480種結果
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學，則從4名學生中選兩個排列在教師之間，兩名教師和2個學生組成一個元素同另外2個元素進行排列，共有A₄²A₂²A₃³=144種結果．
（5）由題意知可以分成兩種情況甲站在右端有A₅⁵=120種結果，
甲不在右端，甲有4種情況，乙也有4種結果，余下的4個人在四個位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384種結果，
∴根據分步計數(shù)原理知共有120+384=504種結果．
（6）甲、乙都不與丙相鄰排法種數(shù)可以從全排列種數(shù)中排除甲乙兩人至少有一人與丙相鄰的種數(shù)，
故有A₆⁶-2A₂²×A₅⁵+A₂²A₄⁴=288．

點評：本題考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是不相鄰問題采用插空法，相鄰問題采用捆綁法，本題包括的情況比較多，是一個綜合題目．