Question

有甲乙2名老師和4名學生站成一排照相．
（1）甲乙兩名老師必須站在兩端，共有多少種不同的排法？
（2）甲乙兩名老師必須相鄰，共有多少種不同的排法？
（3）甲乙兩名老師不能相鄰，共有多少種不同的排法？
（4）甲乙兩名老師之間必須站兩名同學，共有多少種不同的排法？（必須寫出解析式再算出結果才能給分）

Answer 1

分析：（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，則甲和乙站在兩端，4名學生在中間排列，共有A₄⁴A₂²種結果．
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，則可以把兩名教師看做一個元素，同4名學生進行排列，注意教師之間還有一個排列
（3）兩名教師不能相鄰，可以先排列學生，有A₄⁴種結果，再在學生形成的5個空中排列兩名教師，有A₅²種結果，根據分步計數原理知共有24×20種結果．
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學，則從4名學生中選兩個排列在教師之間，兩名教師和2個學生組成一個元素同另外2個元素進行排列．

解答：解：（1）甲、乙兩名老師必須站在兩端，則甲和乙站在兩端，4名學生在中間排列，共有A₄⁴A₂²=48種結果．
（2）甲、乙兩名老師必須相鄰，則可以把兩名教師看做一個元素，
同4名學生進行排列，注意教師之間還有一個排列，共有A₅⁵A₂²=240種結果
（3）由題意知兩名教師不能相鄰，可以先排列學生，有A₄⁴=24種結果，
再在學生形成的5個空中排列兩名教師，有A₅²=20種結果，
根據分步計數原理知共有24×20=480種結果
即兩名女生不能相鄰的排列方法有480種結果
（4）甲、乙兩名老師之間必須站兩名同學，則從4名學生中選兩個排列在教師之間，兩名教師和2個學生組成一個元素同另外2個元素進行排列，共有A₄²A₂²A₃³=144種結果．

點評：本題考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是不相鄰問題采用插空法，相鄰問題采用捆綁法，本題包括的情況比較多，是一個綜合題目．