Question

函數f(x)=sinx，g(x)=f(x+

π

2

)，直線x=t（t∈R）與f（x），g（x）的圖象交于M、N兩點，則M、N兩點間的距離|MN|的最大值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  2

• D、2

Answer 1

分析：由已知中直線x=t分別交函數f（x）、g（x）的圖象于M、N兩點，構造函數表示M、N的距離，根據輔助角公式可將其化為一個正弦型函數的形式，根據正弦型函數的性質，即可得到答案．

解答：解：由題意可得：f(x)=sinx，g(x)=f(x+

π

2

)，
所以g(x)=f(x+

π

2

)=cosx．
因為直線x=t（t∈R）與f（x），g（x）的圖象交于M、N兩點，
所以|MN|=|sinx-cosx|，
所以|sinx-cosx|=|

2

sin（x-

π

4

）|∈[0，

2

]．
所以M、N兩點間的距離|MN|的最大值為

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，其中構造函數表示M、N的距離，將平面上兩動點之間的距離問題轉化為三角函數的最值問題，是解答本題的關鍵．