Question

（本小題滿分14分）
已知函數處取得極值.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若當恒成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）對任意的是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，請說明理由.

Answer 1

(1) b=－2(2) c<－1或c>2.(3)運用函數的單調性，結合最大值與最小值差的絕對值滿足不等式即可。

試題分析：解：（Ⅰ）∵f(x)=x³－x²+bx+c，∴f′(x)=3x²－x+b.         ……2分
∵f(x)在x=1處取得極值，∴f′(1)=3－1+b=0
∴b=－2.             ……3分
經檢驗，符合題意.         ……4分
（Ⅱ）f(x)=x³－x²－2x+c.∵f′(x)=3x²－x－2=(3x+2)(x－1)，     …5分

x					1	(1,2)	2
f′(x)		+	0	－	0	+
f(x)

∴當x=－時，f(x)有極大值+c.
又
∴x∈[－1，2]時，f(x)最大值為f(2)=2+c.     ……8分
∴c²>2+c.  ∴c<－1或c>2.      …………10分（Ⅲ）對任意的恒成立.
由（Ⅱ）可知，當x=1時，f(x)有極小值.又    …12分∴x∈[－1，2]時，f(x)最小值為.
，故結論成立. ……14分
點評：解決該試題的關鍵是能結合導數的符號判定函數的單調性，讓那后結合函數的極值得到最值，屬于基礎題。