Question

（本題滿分14分）如圖，三棱錐P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB。（1）求證：AB平面PCB；（2）求二面角C—PA—B的大小．

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ)  arcsin 

（1）∵PC平面ABC，平面ABC，
∴PCAB ∵CD平面PAB，平面PAB，

∴CDAB又，
∴AB平面PCB．…6分
（2）解法一：取AP的中點E，連結CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．
∵CD平面PAB，
由三垂線定理的逆定理，得DE PA．
∴為二面角C-PA-B的平面角．
由(I) AB平面PCB，又∵AB⊥BC，又AB=BC，AC=2，可求得BC=．
　　在中，PB=，
．
在中， sin∠CED=．
∴二面角C—PA—B的大小為arcsin．…………14分
（2）解法二：
∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，過點B作直線l//PA，則l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系（如圖）
設平面PAB的法向量為

則  即
解得  
令=" -1, " 得= (，0，-1)
設平面PAC的法向量為=()．
，，
則  即
解得  令="1, " 得= (1，1，0)．
=
∴二面角C—PA—B的大小為arccos