Question

設函數．
（1）若a=0，求f（x）在（0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．
（2）若f（x）在區間[1，2]上為減函數，求a的取值范圍．
（3）若直線y=x為函數f（x）的圖象的一條切線，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，x＞0，令，得，故f（x）在為增函數，同理可得f（x）在為減函數，由此能求出f（x）在（0，m]（m＞0）上的最大值g（m）．
（2）由f（x）在[1，2]上為減函數，知x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，故a＞-1．再由恒成立，能求出a的取值范圍．
（3）設切點為P（x，x）則，且，由此能求出a的值．
解答：解：（1），x＞0，
令，
∴，
∴f（x）在為增函數，
同理可得f（x）在為減函數，
故時，f（x）最大值為，
當時，f（x）最大值為，
綜上：．（4分）
（2）∵f（x）在[1，2]上為減函數
∴x∈[1，2]有x+a＞0恒成立⇒a＞-1
且恒成立，
而在[1，2為減函數]，
∴，又a＞-1
故為所求． （4分）
（3）設切點為P（x，x），
則，
且，
∴，
即：，
再令h（x）=x+x²+l_n（1+2x），，
∴，
∴h（x）在為增函數，又h（0）=0，
∴h（x）=0?x=0．
則a=1為所求． （5分）
點評：本題考查函數最大值的求法，求a的取值范圍，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．