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已知函數f(x)=2x3-x2+ax+b.
(1)若函數f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求參數a的取值范圍.
(2)若函數f(x)在x=1處取處極值,且x∈[-1,2]時,f(x)<b2+b恒成立,求參數b  的取值范圍.
分析:(1)根據切線與橫軸平行,對函數求導,使得到函數等于0有實根,得到關于一元二次方程的判別式,求出結果.
(2)由函數f(x)在x=1處取得極值,知x=1是方程f(x)=0的一個根,得到字母系數的值,求出兩一個根,求出函數的最值,進行比較.得到關于b的不等式,解不等式即可.
解答:解:(1)∵f(x)=6x2-2x+a
∴方程f(x)=0有實根,(4分)
∴△=4-4×6a≥0,
∴a
1
6

  (2)由函數f(x)在x=1處取得極值,
知x=1是方程f(x)=0的一個根,
所以a=-4
∴方程f(x)=0的另一個根為-
2
3

∴當x<-
2
3
或x>1時,f(x)>0,
當-
2
3
<x<1時,f(x)<0,
∴f(x)有極大值
44
27
+b

而f(2)=4+b>
44
27
+b
>f(-1)=1+b
∴當x∈[-1,2]時,f(x)的最大值是4+b
∵f(x)<b2+b恒成立,即有4+b<b2+b成立
解得b<-2或b>2
∴參數b的取值范圍是(-∞,-2)∪(2,+∞)
點評:本題考查函數的極值點應用,考查恒成立問題,解題的關鍵是構造不等式,整理出要用的結果,是一個綜合題目.
練習冊系列答案
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已知函數f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實數a,b(a<b),使y=f(x)的定義域為(a,b)時,值域為(ma,mb),則實數m的取值范圍是(  )

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(Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實數a的取值范圍.

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同步練習冊答案
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