Question

根據程序設定，機器人在平面上能完成下列動作：從原點O出發，以勻速v（m/s）沿東偏北α（α為（0，

π

2

）內的變量）方向或正北方向行走，且方向改變的時間不定．記機器人行走t（s）時的可能落點P的區域為Ω，則Ω的面積與（vt）²的比值為

π

4

-

1

2

．

Answer 1

分析：設改變方向的點為M，過M作x軸的垂線，垂足為N，根據速度和時間求出|OM|+|PM|的長，在△OPM中然后根據三角形的兩邊之和大于第三邊列出一個不等式，然后在△OMN中，根據兩邊之和大于第三邊列出另外一個不等式，然后再根據x≥0，y≥0，在平面直角坐標系中畫出相應的平面區域為一個弓形，利用四分之一圓的面積減去等腰直角三角形的面積即可求出弓形的面積．

解答：解：設改變方向的點位M，則OM+MP=vt
△OPM中，OM+MP≥OP（O，M，P共線時取等號）
∴OP≤vt即x²+y²≤（vt）²
△OMN中，OM≤ON+MN（O，M，N三點共線時取等號）
∴OM+MP≤ON+MN+MP=x+y
即vt≤x+y
機器人行走t（s）時的可能落點P的區域為Ω，則

x≥0，y≥0 x+y≥vt x2+y2≤(vt)2

，所表示的平面區域為（1）中的弓形
∴面積S=

1

4

×π×(vt)2-

1

2

(vt)2=(vt)2)(

π

4

-

1

2

)
∴

S

(vt)2

=

π

4

-

1

2

故答案為：

π

4

-

1

2

（1）

（2）

點評：此題考查學生會進行簡單的線性規劃，解題的關鍵是準確找出x，y滿足的條件，考查了數形結合的數學思想，是一道綜合題．