Question

【題目】已知函數f（x）=ax3+bx2+cx在點x0處取得極大值5，其導函數y=f′（x）的圖象經過點（1，0），（2，0），如圖所示．求：

（1）x0的值；
（2）a，b，c的值．
（3）若曲線y=f（x）（0≤x≤2）與y=m有兩個不同的交點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖象可知，在（﹣∞，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．

在（2，+∞）上f'（x）＞0．

故f（x）在（﹣∞，1），（2，+∞）上遞增，在（1，2）上遞減．

因此f（x）在x=1處取得極大值，所以x0=1．

（2）解：f'（x）=3ax2+2bx+c，

由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，

得 ，

解得a=2，b=﹣9，c=12

（3）解：由（1）知，函數在[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，

∵f（x）=2x3﹣9x2+12x，

∴f（0）=0，f（1）=5，f（2）=4，

∵y=f（x）（0≤x≤2）與y=m有兩個不同的交點，

∴m∈[4，5）．

【解析】（1）觀察圖象滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極大值，求出x0的值；（2）根據圖象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三個方程，聯立方程組求解即可；（3）由（1）知，函數在[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，求出相應函數值，即可求實數m的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．