Question

【題目】設函數f（x）=﹣x3+ax2+bx+c的導數f'（x）滿足f'（﹣1）=0，f'（2）=9．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）f（x）在區間[﹣2，2]上的最大值為20，求c的值．
（3）若函數f（x）的圖象與x軸有三個交點，求c的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的導數f′（x）=﹣3x2+2ax+b，

∵f'（x）滿足f'（﹣1）=0，f'（2）=9，

∴ 得a=3，b=9，

則f（x）=﹣x3+3x2+9x+c，f′（x）=﹣3x2+6x+9=﹣3（x2﹣2x﹣3），

由f′（x）＞0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＞0得x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，

此時函數單調遞增，即遞增區間為（﹣1，3），

由f′（x）＜0得﹣3（x2﹣2x﹣3）＜0得x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，

此時函數單調遞減，即遞減區間為（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；

（2）解：由（1）知，當x=﹣1時，函數取得極小值f（﹣1）=1+3﹣9+c=c﹣5，

f（﹣2）=8+12﹣18+c=2+c，f（2）=﹣8+12+18+c=22+c，

則f（x）在區間[﹣2，2]上的最大值為f（2）=22+c=20，

則c=﹣2．

（3）解：由（1）知當x=﹣1時，函數取得極小值f（﹣1）=1+3﹣9+c=c﹣5，

當x=3時，函數取得極大值f（3）=﹣27+27+27+c=27+c，

若函數f（x）的圖象與x軸有三個交點，

則 得 ，得﹣27＜c＜5，

即c的范圍是（﹣27，5）．

【解析】（1）求函數的導數，根據條件建立方程組關系求出a，b的值，結合函數單調性和導數之間的關系即可求f（x）的單調區間；（2）求出函數f（x）在區間[﹣2，2]上的最大值，建立方程關系即可求c的值．（3）若函數f（x）的圖象與x軸有三個交點，則等價為函數的極大值大于0，極小值小于0，解不等式即可求c的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本求導法則的相關知識，掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．