Question

如圖△ABC內接于圓O，AB=AC，直線MN切圓O于點C，BD∥MN，AC與BD相交于點E．
（1）求證：AE=AD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．

Answer 1

（1）證明：∵BD∥MN，∴∠AED=∠ACN．
又∵MN為圓的切線，∴∠ACN=∠ABC，∴∠AED=∠ABC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB
∴∠AED=∠ACB．
又∵∠ADB=∠ACB，∴∠AED=∠ADB
∴AE=AD …（5分）
（2）解：∵∠ACD=∠ABD，∠CAD=∠CAB，AE=AD，
∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD=BC=4
設AE=x，∵∠ECD=∠BEA，∠AEB=∠DCE
∴△ABE∽△DEC
∴DE=x，
∵AE×EC=BE×ED，
∴x×（6-x）=4×
∴x= …（10分）
分析：（1）證明AE=AD，只需證明∠AED=∠ADB．先證明∠AED=∠ABC，再證明∠AED=∠ACB即可；
（2）先證明△ABE≌△ACD，可得BE=CD=BC=4，設AE=x，利用△ABE∽△DEC，可得DE=x，利用相交弦定理，即可求得結論．
點評：本題考查圓內接四邊的性質，考查三角形的全等與相似，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．