Question

（2012•湛江模擬）已知函數f（x）的圖象由函數g(x)=(

1

a

-

1

4

)•2x-1+

4a-1

2x-1

(a≠0)向左平移1個單位得到．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）當a=1時，求函數f（x）的最小值；
（3）若函數f（x）的最小值是m，且m＞

7

，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數平移的性質進行求解；
（2）把a=1代入f（x），再根據均值不等式進行求解；
（3）對f（x）進行求導，利用導數研究函數的極值，對a進行討論，研究函數的單調區間，從而進行求解；

解答：解：（1）∵已知函數f（x）的圖象由函數g(x)=(

1

a

-

1

4

)•2x-1+

4a-1

2x-1

(a≠0)向左平移1個單位得到
依題意：f（x）=（

1

a

-

1

4

）•2^x+

4a-1

2x

（2）當a=1時，f（x）=

3

4

•2^x+

3

2x

≥2•

3 4 •2x• 3 2x

=3；
（3）∵f′（x）=（

1

a

-

1

4

）•2^x•ln2+

(4a-1)

2x

•ln

1

2

=

ln2[( 1 a - 1 4 )•(2x)2-(4a-1)]

2x

，
∴由f′（x）＞0，得：（

4-a

4a

）•（2^x）²＞4a-1  ①
①當

4-a 4a ＜0 4a-1＜0

，即a＜0，時，（2^x）²＞

4a(4a-1)

4a

，
當x＜log₂

4a(4a-1) 4-a

時，函數f（x）遞增，
當x＞log₂

4a(4a-1) 4-a

時，函數f（x）遞減，
∴函數f（x）只有最大值，矛盾；
②當

4-a 4a ＞0 4a-1≤0

，即0＜a≤

1

4

時，①式的解集為R，此時函數f（x）單調遞增，
不存在最小值；
③當

4-a 4a ≤0 4a-1＞0

，即a≥4時，①式的解集為∅．
此時函數f（x）單調遞減，不存在最小值；
④當

4-a 4a ＞0 4a-1＞0

，即

1

4

＜a＜4時，（2^x）²＞

4a(4a-1)

4-a

，
∴當x＞log₂

4a(4a-1) 4-a

時，函數f（x）遞增，
當x＜log₂

4a(4a-1) 4-a

時，函數f（x）遞減，
∴函數f（x）當=log₂

4a(4a-1) 4-a

時，有最小值2

(4-a)(4a-1) 4a

，
∴2

(4-a)(4a-1) 4a

＞

7

，
∴

1

2

＜a＜2，
綜上所述，滿足題意設條件的實數a的取值范圍是（

1

2

，2）．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的單調性就是隨著x的變大，y在變大就是增函數，y變小就是減函數，利用導數研究函數的單調性，難度比較大；