Question

（2012•紹興一模）若關于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，則實數m的取值范圍是（　　）

A．（0，1]

B．[0，1）

C．（-∞，1）

D．（-∞，1]

Answer 1

分析：運用集合中的補集思想來做此題．假設，函數關于x的方程mx²+（m-3）x+1=0二根同時為負，則有x₁+x₂＜0，x₁x₂=

1

m

＞0，取不等式的交集得出m的范圍，再取其補集，最后再加上根的判別式△≥0這個條件，即可求出實數m的取值范圍．

解答：解：若m=0，則關于x的方程mx²+（m-3）x+1=0，即-3x+1=0，在（0，+∞）上有解x=

1

3

，符合題意．
若m≠0時，關于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，就是說不能二根同為負．
如果二根同時為負，設方程的兩根為x₁，x₂，則有：
x₁+x₂=

3-m

m

＜0，且x₁x₂=

1

m

＞0，
解得：m＞3，
所以至少有一正根時有：m≤3，
又判別式：（m-3）²-4m≥0，
即m²-10m+9≥0
即（m-9）（m-1）≥0
∴m≥9或者m≤1．
綜上所述，若關于x的方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）上有解，則實數m的取值范圍是m≤1．
故選D．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用．切記不要忽略一元二次方程二次項系數不為零這一隱含條件．