Question

已知函數f（x）=

1

2x

-2^x，
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）解關于x的不等式f[lg（x²-2）]+f[lg（

1

x

）]＞0．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）=2，可得

1

2x

-2^x=2，即（2^x）²+2×2^x-1=0，由此可求x的值；
（2）判斷f（x）是R上的奇函數、減函數，再將不等式轉化為具體不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）∵f（x）=2，∴

1

2x

-2^x=2，整理得（2^x）²+2×2^x-1=0
解得2x=

2

-1
∴x=log2(

2

-1)…（4分）
（2）∵f（-x）=-f（x），∴f（x）是R上的奇函數
∵f[lg（x²-2）]+f[lg（

1

x

）]＞0
∴f[lg（x²-2）]＞f（lgx）
∵f′（x）=-

ln2

2x

-2^xln2＜0
∴f（x）在R上為減函數，∴lg（x²-2）＜lgx…（8分）
∴0＜x²-2＜x
∴

2

＜x＜2…（10分）

點評：本題考查指數方程，考查函數的單調性與奇偶性，考查不等式的解法，解題的關鍵是確定函數的性質，屬于中檔題．