Question

已知△ABC與△DBC都是邊長為

2 3

3

的等邊三角形，且平面ABC⊥平面DBC，過點A作PA⊥平面ABC，且AP=2．
（Ⅰ）求證：PA∥平面DBC；
（Ⅱ）求直線PD與平面ABC所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC的中點O，連接DO，由等腰三角形三線合一的性質可得DO⊥BC，結合已知中平面ABC⊥平面DBC，PA⊥平面ABC，利用面面垂直的性質，及線面垂直的性質，可得DO∥PA，進而根據線面平行的判定定理，得到PA∥平面DBC；
（Ⅱ）由（I）中結論，可得D在平面ABC的射影是O，P在平面ABC的射影是A，過D作DM∥OA交PA于M，則∠PDM等于直線PD與平面ABC所成角，解三角形PDM即可得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）取BC的中點O，連接DO，則DO⊥BC
又∵平面DBC⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC．
而AP⊥平面ABC，
∴DO∥PA，
又∵DO在平面DBC內，
∴PA∥平面DBC．
解：（Ⅱ）∵D在平面ABC的射影是O，P在平面ABC的射影是A，
∴DP在平面ABC的射影是OA，即直線PD與平面ABC所成角就是直線PD與直線OA所成的角，
過D作DM∥OA交PA于M，
由（Ⅰ）可知DO∥PA，
∴DM=OA=1，DO=MA=1?PM=1
∴cos∠PDM=

DM

PD

=

2

2

即∠PDM=45°

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，其中（I）的關鍵是證得DO∥PA，（II）的關鍵是證得∠PDM等于直線PD與平面ABC所成角．