Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求直線PB與平面BD的夾角．

Answer 1

分析：（1）取PB中點Q，連結MQ、NQ，利用三角形中位線定理和菱形的性質，證出QN

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MD得到四邊形MQND是平行四邊形，可得DN∥MQ．利用線面平行判定定理，即可證出DN∥平面PMB；
（2）由菱形ABCD中∠A=60°，得到△ABD是正三角形，從而MB⊥AD．由PD⊥底ABCD得到PD⊥MB，利用線面垂直的判定定理，證出MB⊥平面PAD，結合面面垂直判定定理可得平面PMB⊥平面PAD；
（3）由前面的證明，可得△PBD是以D為直角頂點的等腰直角三角形，從而得到直線PB與平面BD的夾角為45°．

解答：解：（1）取PB中點Q，連結MQ、NQ，
∵M、N分別是棱AD、PC中點，
∴QN∥BC∥MD，且QN=MD，
四邊形MQND是平行四邊形，可得DN∥MQ．
∵MQ?平面PMB，DN?平面PMB
∴DN∥平面PMB；…（5分）
（2）∵PD⊥底ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB
又∵底面ABCD為菱形，∠A=60°且M為AD中點，
∴MB⊥AD．
又∵AD、PD是平面PAD內的相交直線，∴MB⊥平面PAD．
∵MB?平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD；…（10分）
（3）連結BD，
∵底面ABCD是邊長為a的菱形，∠A=60°
∴△ABD是邊長為a的正三角形
∵PD⊥底ABCD，且PD=CD，
∴RT△PBD中，PD=BD=a，可得∠PBD=45°
即直線PB與平面BD的夾角等于45°…（14分）

點評：本題給出特殊的四棱錐，求證線面平行、面面垂直并求兩直線所成的角，著重考查了空間平行、垂直位置關系的判斷與證明和空間角的求法等知識，屬于中檔題．