Question

如圖,在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.

求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

Answer 1

解析:證明∠BSC為所求二面角的平面角,并求之.

延長BA、CD相交于E,連結SE,則SE是二面角的棱.

∵AD∥BC,BC=2AD,∴EA=AB=SA.

∴SE⊥SB.

又∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,EB是交線.

又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB.故SB是CS在面SEB上的射影.

∴CS⊥SE.

∴∠BSC是所求二面角的平面角.

∵SB=,BC=1,BC⊥SB,

∴tan∠BSC==,即所求二面角的正切值為.

小結：求二面角的大小,主要是作出二面角的平面角.本題無“棱”,首先找出棱,利用三垂線定理或逆定理作出其平面角,作出平面角還可以利用平面角的定義或作棱的垂面,最后在三角形中求角.