Question

已知集合A={x|a•4x-2x+1-1=0}，B={x|

2x

x+1

≤1}，若A∩B≠∅，則實數a的取值范圍為（　　）

• A．(

  5

  4

  ，8]
• B．[

  5

  4

  ，8)
• C．[

  5

  4

  ，8]
• D．(

  5

  4

  ，8)

Answer 1

分析：求得 A={x|a （2^x）²-2•2^x-1=0}，B={x|-1＜x≤1}． 再由A∩B≠∅，可得方程at²-2t-1=0在（

1

2

，2]上有解．設f（t）=at²-2t-1，
則由題意可得函數f（t）在區間（

1

2

，2]上有解，結合所給的選項可得，a＞0．故有 ①f（

1

2

）f（2）=（

a

4

-2）（4a-5）＜0，或②

△=4+4a≥0 f( 1 2 )＞0 f(2)＞0 1 2 ＜ 1 a ＜2

，
③或f（2）=0．分別求得①、②、③的解集，再把①②③的解集取并集，可得a的范圍．

解答：解：∵A={x|a4^x-2^x+1-1=0 }={x|a （2^x）²-2•2^x-1=0}，B={x|

2x

x+1

≤1}={x|

x-1

x+1

≤0}={x|-1＜x≤1}．
由于-1＜x≤1，故有

1

2

＜2^x≤2，再由A∩B≠∅，可得方程at²-2t-1=0在（

1

2

，2]上有解．
設f（t）=at²-2t-1，則由題意可得函數f（t）在區間（

1

2

，2]上有解，結合所給的選項可得，a＞0．
故有 ①f（

1

2

）f（2）=（

a

4

-2）（4a-5）＜0，或②

△=4+4a≥0 f( 1 2 )＞0 f(2)＞0 1 2 ＜ 1 a ＜2

，③或f（2）=0．
解①可得

5

4

＜a＜8，解②可得

5

4

＜a＜2，解③可得 a=

5

4

．
把①②③的解集取并集，可得a的范圍為[

5

4

，8），
故選B．

點評：本題主要考查指數方程、分式不等式的解法，兩個集合的交集的定義，二次函數的性質的應用，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．