Question

已知函數f（x）=

3

sin（π-ωx）-sin（

π

2

-ωx）（ω＞0）的圖象上兩相鄰最高點的坐標分別為（

π

3

，2）和（

4π

3

，2）
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（A）=2，求

b-2c

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用誘導公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據圖象上兩相鄰最高點的坐標求出函數的周期，利用周期公式求出ω的值即可；
（2）由（1）確定出的函數解析式，根據f（A）=2，求出A的度數，所求式子利用正弦定理化簡，將A度數代入計算，利用和差化積公式變形為一個角的正弦函數，根據C的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的值域即可求出所求式子的范圍．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin（π-ωx）-sin（

π

2

-ωx）=

3

sinωx-cosωx=2sin（ωx-

π

6

），
根據題意得：T=π，即

2π

|ω|

=π，
∵ω＞0，∴ω=2；
（2）∵f（A）=2sin（2A-

π

6

）=2，即sin（2A-

π

6

）=1，
∵-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，∴2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
則

b-2c

a

=

sinB-2sinC

sin π 3

=

2 3

3

[sin（

2π

3

-C）-2sinC]=2sin（

π

6

-C），
∵0＜C＜

2π

3

，∴-

π

2

＜

π

6

-C＜

π

6

，
∴-2＜2sin（

π

6

-C）＜1，
則

b-2c

a

的范圍是（-2，1）．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，正弦定理，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．