Question

沿海地區某農村在2010年底共有人口1480人，全年工農業生產總值為3180萬，從2011年起計劃10年內該村的總產值每年增加60萬元，人口每年凈增a人，設從2011年起的第x年（2011年為第一年）該村人均產值為y萬元．
（Ⅰ）寫出y與x之間的函數關系式；
（Ⅱ）為使該村的人均產值10年內每年都有增長，那么該村每年人口的凈增不能超過多少人？

Answer 1

分析：（1）據人均產值=總產值人數，列出y與x的關系
（2）是利用單調遞增函數的定義，設出有大小的兩自變量得到其函數值的大小，列出不等式求出a的范圍．

解答：（Ⅰ）解：依題意得第x年該村的工農業生產總值為（3180+60x）萬元，
而該村第x年的人口總數為（1480+ax）人，
∴y=

3180+60x

1480+ax

（1≤x≤10）．（6分）
（Ⅱ）為使該村的人均產值年年都有增長，則在1≤x≤10內，y=f（x）為增函數．
設1≤x₁＜x₂≤10，則
f（x₁）-f（x₂）=

3180+60x1

1480+ax1

-

3180+60x2

1480+ax2

=

60×1480(x1-x2)+3180a(x2-x1)

(1480+ax1)(1480+ax2)

=

(88800-3180a)(x1-x2)

(1480+ax1)(1480+ax2)

．
∵1≤x₁＜x₂≤10，a＞0，
∴由f（x₁）＜f（x₂），得88800-3180a＞0．
∴a＜

88800

3180

≈27.9．又∵a∈N^*，∴a=27．
所以該村每年人口的凈增不能超過27人．

點評：本小題主要考查函數知識、函數的單調性，考查數學建模，運用所學知識解決實際問題的能力．