Question

某安全生產監督部門對5家小型煤礦進行安全檢查（簡稱安檢）．若安檢不合格，則必須進行整改．若整改后經復查仍不合格，則強行關閉．設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5，整改后安檢合格的概率是0.8，計算（結果精確到0.01）：
（Ⅰ）恰好有兩家煤礦必須整改的概率；
（Ⅱ）平均有多少家煤礦必須整改；
（Ⅲ）至少關閉一家煤礦的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由每家煤礦必須整改的概率是1-0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的．代入n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式，即可得到答案．
（2）由題意，必須整改的煤礦數ξ服從二項分布B（5，0.5），我們計算出ξ的數學期望，根據數學期望易得到平均有多少家煤礦必須整改；
（3）要至少關閉一家煤礦的概率．則表示該煤礦第一次安檢不合格，整改后經復查仍不合格，代入分步事件概率乘法公式即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）每家煤礦必須整改的概率是1-0.5，
且每家煤礦是否整改是相互獨立的．
所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是
．
（Ⅱ）由題設，必須整改的煤礦數ξ服從二項分布B（5，0.5）．
從而ξ的數學期望是Eξ=5×0.5=2.5，
即平均有2.50家煤礦必須整改．
（Ⅲ）某煤礦被關閉，
即該煤礦第一次安檢不合格，
整改后經復查仍不合格，
所以該煤礦被關閉的概率是
P₂=（1-0.5）×（1-0.8）=0.1，
從而該煤礦不被關閉的概率是0.9．
由題意，每家煤礦是否被關閉是相互獨立的，
所以至少關閉一家煤礦的概率是
P₃=1-0.9⁵=0.41
點評：本小題主要考查相互獨立事件概率的計算，運用數學知識解決問題的能力，要想計算一個事件的概率，首先我們要分析這個事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進行求解．