Question

某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查（簡稱安檢）．若安檢不合格，則必須進(jìn)行整改．若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)行關(guān)閉．設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5，整改后安檢合格的概率是0.8，計(jì)算（結(jié)果精確到0.01）：
（Ⅰ）恰好有兩家煤礦必須整改的概率；
（Ⅱ）平均有多少家煤礦必須整改；
（Ⅲ）至少關(guān)閉一家煤礦的概率．

Answer 1

分析：（1）由每家煤礦必須整改的概率是1-0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的．代入n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式，即可得到答案．
（2）由題意，必須整改的煤礦數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B（5，0.5），我們計(jì)算出ξ的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望易得到平均有多少家煤礦必須整改；
（3）要至少關(guān)閉一家煤礦的概率．則表示該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，代入分步事件概率乘法公式即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）每家煤礦必須整改的概率是1-0.5，
且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的．
所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是
P1=

C

2 5

×(1-0.5)2×0.53=

5

16

=0.31．
（Ⅱ）由題設(shè)，必須整改的煤礦數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B（5，0.5）．
從而ξ的數(shù)學(xué)期望是Eξ=5×0.5=2.5，
即平均有2.50家煤礦必須整改．
（Ⅲ）某煤礦被關(guān)閉，
即該煤礦第一次安檢不合格，
整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，
所以該煤礦被關(guān)閉的概率是
P₂=（1-0.5）×（1-0.8）=0.1，
從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9．
由題意，每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的，
所以至少關(guān)閉一家煤礦的概率是
P₃=1-0.9⁵=0.41

點(diǎn)評：本小題主要考查相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，要想計(jì)算一個事件的概率，首先我們要分析這個事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進(jìn)行求解．