Question

如圖，在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是邊長為2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方形，側(cè)棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（1）求證：B₁B∥平面D₁AC；
（2）求證：平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁．

Answer 1

證明：（1）設(shè)AC∩BD=E，連接D₁E，
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁．
∴B₁D₁∥BE，∵B₁D₁=BE=

2

，
∴四邊形B₁D₁EB是平行四邊形，
所以B₁B∥D₁E．
又因為B₁B?平面D₁AC，D₁E?平面D₁AC，
所以B₁B∥平面D₁AC
（2）證明：側(cè)棱DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁．
∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD．
∵DD₁與DB是平面B₁BDD₁內(nèi)的兩條相交直線，
∴AC⊥平面B₁BDD₁
∵AC?平面D₁AC，∴平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁．