Question

19、如圖，在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°．
（Ⅰ）證明：AA₁⊥BD；
（Ⅱ）證明：CC₁∥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）  由D₁D⊥平面ABCD，可證 D₁D⊥BD．△ABD 中，由余弦定理得 BD²，勾股定理可得 AD⊥BD，由線面垂直的判定定理可證 BD⊥面ADD₁A₁，再由線面垂直的性質定理可證 BD⊥AA₁． 
（Ⅱ）連接AC和A₁C₁，設AC∩BD=E，先證明四邊形ECC₁A₁為平行四邊形，可得CC₁∥A₁E，再由線面平行的判定定理可證CC₁∥平面A₁BD．

解答：證明：（Ⅰ）∵D₁D⊥平面ABCD，∴D₁D⊥BD． 又AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°，△ABD 中，
由余弦定理得 BD²=AD²+AB²-2AB•ADcos60°=3AD²，∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，又 AD∩DD₁=D，∴BD⊥面ADD₁A₁．
由 AA₁?面ADD₁A₁，∴BD⊥AA₁．                                  
（Ⅱ）證明：連接AC 和A₁C₁，設 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四邊形，故E為平行四邊形ABCD的
中心，由棱臺的定義及AB=2AD=2A₁B₁，可得 EC∥A₁C₁，且 EC=A₁C₁，
故ECC₁ A₁ 為平行四邊形，∴CC₁∥A₁ E，而A₁ E?平面A₁BD，∴CC₁∥平面A₁BD．

點評：本題考查余弦定理、勾股定理、線面平行的判定定理、線面平行的性質定理的應用，體現了數形結合的數學思想．