Question

【題目】已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)在[0，π] 上的最大值與最小值；

（2）令，討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析．

【解析】

（1）求導研究函數(shù)在[0，π] 上的單調性，進而求出最值；

（2）求出，并求導可得，令，求導可得函數(shù)在上單調遞增，進而可得，對分類討論：，，，時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值即可.

解：（1）由已知，

令，則

此時恒成立，則在上單調遞增，

又，則在上恒成立，

在上單調遞增，

；

（2），

令，則，

所以函數(shù)在上單調遞增，

時，時，，

①時，時，，時，，

函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，

時，函數(shù)取到極小值；

②時，令，

解得，

i)時，

時，，，函數(shù)單調遞增；

時，，函數(shù)單調遞減；

時，，函數(shù)單調遞增；

時，函數(shù)取到極小值，

時，函數(shù)取到極大值；

ii) 時，時，，

所以函數(shù)在上單調遞增，無極值；

iii) 時，，

時，，函數(shù)單調遞增；

時，，函數(shù)單調遞減；

時，，函數(shù)單調遞增，

時，函數(shù)取到極大值；

時，函數(shù)取到極小值；

綜上所述：

時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，時，函數(shù)取到極小值；

時，函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減；時，函數(shù)取到極小值，時，函數(shù)取到極大值；

時，函數(shù)在上單調遞增，無極值；

時， 函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減；時，函數(shù)取到極大值；時，函數(shù)取到極小值.