Question

（2013•威海二模）設(shè)O為坐標(biāo)原點，點A（1，-2），若點M（x，y）為平面區(qū)域

x≥-1 x+2y≥3 2x+y≤3

上的一個動點，則

OA

•

OM

的取值范圍為（　　）

A．[1，5]

B．[-11，-1]

C．[-11，1]

D．[-6，0]

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部．根據(jù)題意z=

OA

•

OM

=x-2y，將目標(biāo)函數(shù)z=x-2y對應(yīng)的直線進行平移，可得當(dāng)x=y=1時，z的最大值為1；當(dāng)x=-1且y=5時，z的最小值為-11．由此可得本題的答案．

解答：解：∵點A坐標(biāo)為（1，-2），點M坐標(biāo)為（x，y）
∴

OA

•

OM

=x-2y，設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=

OA

•

OM

=x-2y，
作出不等式組

x≥-1 x+2y≥3 2x+y≤3

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（-1，2），B（-1，5），C（1，1）
將直線l：z=x-2y進行平移，可得
當(dāng)l經(jīng)過點C時，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值，z_最大值=F（1，1）=-1
當(dāng)l經(jīng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值，z_最小值=F（-1，5）=-1-2×5=-11
∴z∈[-11，-1]，即

OA

•

OM

的取值范圍為[-11，-1]
故選：B

點評：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=

OA

•

OM

=x-2y的取值范圍，著重考查了向量的數(shù)量積、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．