Question

設函數f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線率為2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）證明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）救出函數的導數，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程組，聯解可得a，b的值；
（Ⅱ）轉化為證明函數y=f（x）-（2x-2）的最大值不超過0，用導數工具討論單調性，可得此函數的最大值．

解答：解：
（Ⅰ）f'（x）=1+2ax+

b

x

，
由已知條件得：

f(1)=0 f/(1)=2

，即

1+a=0 1+2a+b=2

解之得：a=-1，b=3
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x-x²+3lnx，
設g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，則
g/(x)=-1-2x+

3

x

=-

(x-1)(2x+3)

x

當時0＜x＜1，g′（x）＞0；當x＞1時，g′（x）＜0
所以在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減
∴g（x）在x=1處取得最大值g（1）=0
即當x＞0時，函數g（x）≤0
∴f（x）≤2x-2在（0，+∞）上恒成立

點評：本題著重考查導數的幾何意義，以及利用導數討論函數的單調性，求函數的最值，是一道常見的函數題．