Question

已知數列{a_n}（n∈N^*），其前n項和為S_n，給出下列四個命題：
①若{a_n}是等差數列，則三點(10，

S10

10

)、(100，

S100

100

)、(110，

S110

110

)共線；
②若{a_n}是等差數列，且a₁=-11，a₃+a₇=-6，則S₁、S₂、…、S_n這n個數中必然存在一個最大者；
③若{a_n}是等比數列，則S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比數列；
④若S_n+1=a₁+qS_n（其中常數a₁q≠0），則{a_n}是等比數列；
⑤若等比數列{a_n}的公比是q（q是常數），且a₁=1，則數列{a_n²}的前n項和s_n=

1-q2n

1-q2

．
其中正確命題的序號是

 

．（將你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：等差數列與等比數列,簡易邏輯

分析：寫出等差數列的前n項和后變形得到

Sn

n

=a1+(n-1)

d

2

，由此得到命題①正確；由題意求出等差數列的公差小于0說明S₁、S₂、…、S_n這n個數中必有一個最小值得到②錯；舉特例說明③錯；由數列遞推式可得{a_n}是等比數列；舉特殊數列說明⑤錯．

解答： 解：對于①，由等差數列前n項和公式Sn=na1+

n(n-1)

2

d，
知

Sn

n

=a1+(n-1)

d

2

，即數列{

Sn

n

}為等差數列，則已知三點都在一次函數y=a1+(x-1)

d

2

得圖象上，故①對；
對于②，由a₃+a₇=-6得2a₁+8d=-6，又a₁=-11＜0，
∴d=2＞0，故S₁、S₂、…、S_n這n個數中必有一個最小值，故②錯；
對于③，Sm=a1+a2+…+am=a1(

1-qm

1-q

)，S2m-Sm=am+1+am+2+…+a2m=qm(a1+a2+…+am)=a1(

qm-q2m

1-q

)，S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=q2m(a1+a2+…+am)=a1(

q2m-q3m

1-q

)，
當a₁+a₂+…+a_m≠0時是等比數列，當a₁+a₂+…+a_m=0時，命題不成立．故③錯；
對于④由S_n+1=a₁+qS_n得S_n=a₁+qS_n-1，兩式相減得a_n+1=qa_n，故④對；
對于⑤，若等比數列{a_n}的是常數數列，又a₁=1，則數列{an2}是公比為1，首項為a₁=1的等比數列，則1-q²=0，故⑤錯．
故答案為：①④．

點評：本題考查了等差（比）數列的定義及前n項和公式的應用，考查了性質am=anqm-n(m，n∈N*)的應用，訓練了等差數列前n項和公式的最值問題，是中檔題．