Question

（2013•房山區二模）已知函數f（x）=（ax-2）e^x在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在[m，m+1]上的最小值；
（Ⅲ）求證：對任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數f′（x），由題意得f′（1）=0，可得a值，代入檢驗即可；
（Ⅱ）當a=1時可求出f（x）的單調區間及極值點，按極值點在區間[m，m+1]的左側、內部、右側三種情況進行即可求得其最小值；
（Ⅲ）對任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e，等價于|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）≤e．問題轉化為求函數f（x）的最大值、最小值問題，用導數易求；

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x，
由已知得f'（1）=0，即（2a-2）e=0，
解得：a=1，
驗證知，當a=1時，在x=1處函數f（x）=（x-2）e^x取得極小值，所以a=1；
（Ⅱ）f（x）=（x-2）e^x，f'（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減		增

所以函數f（x）在（-∞，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
當m≥1時，f（x）在[m，m+1]上單調遞增，f_min（x）=f（m）=（m-2）e^m．
當0＜m＜1時，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上單調遞減，在[1，m+1]上單調遞增，f_min（x）=f（1）=-e．
當m≤0時，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]單調遞減，fmin(x)=f(m+1)=(m-1)em+1．
綜上，f（x）在[m，m+1]上的最小值fmin(x)=

(m-2)em， m≥1 -e， 0＜m＜1 (m-1)em+1， m≤0

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-2）e^x，f'（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．
令f'（x）=0得x=1，
因為f（0）=-2，f（1）=-e，f（2）=0，
所以f_max（x）=0，f_min（x）=-e，
所以，對任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=e，

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值，考查分類討論思想、轉化思想，關于恒成立問題往往轉化為函數最值問題解決．