Question

甲、乙兩大超市同時開業，第一年的全年銷售額均為a萬元，由于經營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為(n²-n+2)萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多()^n-1a萬元.

(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式；

(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，將會出現在第幾年?

Answer 1

解:(1)設甲、乙兩超市第n年銷售額分別為a_n、b_n，又設甲超市前n年總銷售額為S_n，

則S_n=(n²-n+2)(n≥2).因n=1時,a₁=a,則n≥a時,a_n=S_n-S_n-1=(n²-n+2)［(n-1)²-(n-1)+2］=a(n-1),故a_n=

又因b₁=a,n≥2時,b_n-b_n-1=()^n-1a.

故b_n=b₁+(b₂-b₁)+(b₃-b₂)+…+(b_n-b_n-1)

=a+a+()²a+…+()^n-1a=［1++()²+…+()^n-1］a

=a=［3-2·()^n-1］a.

顯然n=1也適合，故b_n=［3-2·()^n-1］a(n∈N^*).

(2)當n=2時，a₂=a,b₂=a,有a₂＞b₂；當n=3時,a₃=2a,b₃=a,有a₃＞b₃;

當n≥4時,a_n≥3a,而b_n＜3a，故乙超市有可能被收購.

當n≥4時,令a_n＞b_n，則(n-1)a＞［3-2·()^n-1］an-1＞6-4·()^n-1,

即n＞7-4·()^n-1.

又當n≥7時,0＜4·()^n-1＜1,故當n∈N^*且n≥7時,必有n＞7-4·()^n-1.

即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購