Question

甲、乙兩大超市同時開業，第一年的全年銷售額都為a萬元，由于經營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為（n²-n+2）萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多萬元．
（1）設甲、乙兩超市第n年銷售額分別為a_n，b_n，求a_n，b_n的表達式；
（2）若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，將會出現在第幾年．

Answer 1

解：（1）設甲超市前n年總銷售額為S_n，則S_n=（n²-n+2）．
因n=1時，a₁=a；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²-n+2）-[（n-1）²-（n-1）+2]=a（n-1），
故a_n= 又因b₁=a，n≥2時，b_n-b_n-1=（）^n-1a．
故b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=a+a+（）²a+…+（）^n-1a=[1++（）²+…+（）^n-1]a=×a=[3-2•（）^n-1]a．
顯然n=1也適合，故b_n=[3-2•（）^n-1]a（n∈N^*）．
（2）當n=2時，a₂=a，b₂=a，有a₂＞b₂；當n=3時，a₃=2a，b₃=a，有a₃＞b₃；
當n≥4時，a_n≥3a，而b_n＜3a，故乙超市有可能被收購．
當n≥4時，令a_n＞b_n，則（n-1）a＞[3-2•（）^n-1]a，∴n-1＞6-4•（）^n-1，即n＞7-4•（）^n-1．
又當n≥7時，0＜4•（）^n-1＜1，故當n∈N^*且n≥7時，必有n＞7-4•（）^n-1．
即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購．
分析：（1）利用S_n=（n²-n+2），即a_n=S_n-S_n-1，可求a_n的表達式；n≥2時，b_n-b_n-1=（）^n-1a，利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），可求b_n的表達式；
（2）利用（1）中a_n，b_n的表達式，代入求解，計算可得第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購．
點評：本題考查數列的通項，考查疊加法，考查利用數列知識解決實際問題，確定數列的通項是關鍵．