Question

已知函數f(x)=

ax-1

x+1

，  其中 a∈R．
（1）當a=1時，求函數滿足f（x）≤1時的x的集合；
（2）求a的取值范圍，使f（x）在區間（0，+∞）上是單調減函數．

Answer 1

（1）當a=1時，f（x）≤1?

x-1

x+1

≤1?x＞-1，
故滿足條件的集合為{x|x＞-1}．
（2）在區間（0，+∞）上任取x₁，x₂，
則f(x2)-f(x1)=

ax2-1

x2+1

-

ax1-1

x1-1

=

(a+1)(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

，
因x₂＞x₁故x₂-x₁＞0，又在（0，+∞）上x₂+1＞0，x₁+1＞0，
∴只有當a+1＜0時，即a＜-1時，才總有f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴當a＜-1時，f（x）在（0，+∞）上是單調減函數．