Question

（2009•虹口區一模）已知：向量

a

=(1，2sinx)，

b

=(

3

，cosx-

3

sinx)，f(x)=

a

•

b

．
（1）當x∈[0，

5π

12

]時，求函數f（x）的最大值和最小值；
（2）若對任意的x∈[0，

5π

12

]，不等式f²（x）-mf（x）-2m+5＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量

a

=(1，2sinx)，

b

=(

3

，cosx-

3

sinx)的坐標可求得f(x)=

a

•

b

的表達式，從而可求x∈[0，

5π

12

]
時函數f（x）的最大值和最小值；
（2）可將f²（x）-mf（x）-2m+5＞0恒成立，轉化為m＜2+f（x）+

9

2+f(x)

-4恒成立，應用基本不等式可求得2+f(x)+

9

2+f(x)

-4的最小值，問題即可解決．

解答：解：（1）∵

a

=(1，2sinx)，

b

=(

3

，cosx-

3

sinx)，
∴f(x)=

a

•

b

=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)，又x∈[0，

5π

12

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

， 

7π

6

]，
∴f（x）∈[-1，2]，即f（x）_max=2，f（x）_min=-1；
（2）∵f²（x）-mf（x）-2m+5＞0恒成立，f（x）∈[-1，2]，f（x）+2＞0，
∴m＜

5+f2(x)

2+f(x)

=

[2+f(x)]2-4[f(x)+2] +9

2+f(x)

=2+f（x）+

9

2+f(x)

-4恒成立，
又2+f（x）+

9

2+f(x)

-4≥2（當且僅當f（x）=1時取“=”），
∴m＜2．

點評：本題考查向量的坐標運算與三角函數的化簡及求最值，難點在于將（2）中的恒成立關系式轉化分離出參數m應用基本不等式解決，屬于難題．