Question

（本小題滿分12分）在三棱柱中，側面為矩形，，，為的中點，與交于點，側面.

（1）證明：；

（2）若，求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題以三棱柱為幾何背景考查線線垂直的判定和線面垂直的判定以及三棱錐的體積的求法，突出考查考生的空間想象能力和推理論證能力以及計算能力.第一問，由于側面為矩形，所以在直角三角形和直角三角形中可求出和的正切值相等，從而判斷2個角相等，通過轉化角得到， 又由于線面垂直，可得，所以可證， 從而得證；第二問，利用第一問的結論，知，利用平行平面，將三棱錐進行轉換，轉換出底和高都比較明顯的，利用三棱錐的體積公式進行計算.

試題解析：(1)證明：由題意且,

,所以,       3分

又側面，,

又與交于點，所以,

又因為,所以.         6分

（2）因為且平面

.      12分

考點：1.直角三角形中正切的計算；2.線面垂直的判定和性質；3.三棱錐的體積公式.