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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

【題目】已知圓的方程為，點，點M為圓上的任意一點，線段的垂直平分線與線段相交于點N.

（1）求點N的軌跡C的方程.

（2）已知點，過點A且斜率為k的直線交軌跡C于兩點，以為鄰邊作平行四邊形，是否存在常數(shù)k，使得點B在軌跡C上，若存在，求k的值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由橢圓的定義，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，進而求得N的軌跡方程；（2）設(shè)直線,與橢圓聯(lián)立，得韋達定理，以、為鄰邊作平行四邊形的頂點在橢圓上，轉(zhuǎn)化為坐標化后B點在橢圓上，得k的方程求解即可

（1）

知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，則a=,

∴

（2）設(shè)直線,與橢圓聯(lián)立

設(shè)，

消去，得

點

代入橢圓方程：

得

又滿足

存在常數(shù)，使得平行四邊形的頂點在橢圓上

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（1）求圖中x的值；

（2）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

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