Question

某啤酒廠為適應(yīng)市場需要，2011年起引進(jìn)葡萄酒生產(chǎn)線，同時生產(chǎn)啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生產(chǎn)量為16000噸，葡萄酒生產(chǎn)量1000噸．該廠計劃從2012年起每年啤酒的生產(chǎn)量比上一年減少50%，葡萄酒生產(chǎn)量比上一年增加100%，試問：
（1）哪一年啤酒與葡萄酒的年生產(chǎn)量之和最低？
（2）從2011年起（包括2011年），經(jīng)過多少年葡萄酒的生產(chǎn)總量不低于該廠啤酒與葡萄酒生產(chǎn)總量之和的？（生產(chǎn)總量是指各年年產(chǎn)量之和）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用該廠計劃從2012年起每年啤酒的生產(chǎn)量比上一年減少50%，葡萄酒生產(chǎn)量比上一年增加100%，可得該廠第n年啤酒和葡萄酒年生產(chǎn)量，進(jìn)而可得啤酒與葡萄酒的年生產(chǎn)量之和，利用基本不等式，可求最值；
（2）利用葡萄酒的生產(chǎn)總量不低于該廠啤酒與葡萄酒生產(chǎn)總量之和的，建立不等式，即可求得結(jié)論．
解答：解：設(shè)從2011年起，該廠第n年啤酒和葡萄酒年生產(chǎn)量分別為a_n噸和b_n噸，經(jīng)過n年后啤酒和葡萄酒各年生產(chǎn)量的總量分別為A_n噸和B_n噸．
（1）設(shè)第n年啤酒和葡萄酒生產(chǎn)的年生產(chǎn)量為D_n噸，依題意，=，=500×2ⁿ，（n∈N^*），（4分）
則D_n=a_n+b_n=+500×2ⁿ=，
當(dāng)且僅當(dāng)，即n=3時取等號，
故2013年啤酒和葡萄酒生產(chǎn)的年生產(chǎn)量最低，為8000噸．（7分）
（2）依題意，，得B_n≥2A_n，
∵，，
∴1000（2ⁿ-1）≥，
∵2ⁿ-1＞0，∴2ⁿ≥64=2⁶，∴n≥6，
從第6年起，葡萄酒各年生產(chǎn)的總量不低于啤酒各年生產(chǎn)總量與葡萄酒各年生產(chǎn)總量之和的．（15分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列知識的運(yùn)用，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查數(shù)列的通項與求和，屬于中檔題．