Question

某啤酒廠為適應市場需要，2011年起引進葡萄酒生產線，同時生產啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生產量為16000噸，葡萄酒生產量1000噸．該廠計劃從2012年起每年啤酒的生產量比上一年減少50%，葡萄酒生產量比上一年增加100%，試問：
（1）哪一年啤酒與葡萄酒的年生產量之和最低？
（2）從2011年起（包括2011年），經過多少年葡萄酒的生產總量不低于該廠啤酒與葡萄酒生產總量之和的

2

3

？（生產總量是指各年年產量之和）

Answer 1

分析：（1）利用該廠計劃從2012年起每年啤酒的生產量比上一年減少50%，葡萄酒生產量比上一年增加100%，可得該廠第n年啤酒和葡萄酒年生產量，進而可得啤酒與葡萄酒的年生產量之和，利用基本不等式，可求最值；
（2）利用葡萄酒的生產總量不低于該廠啤酒與葡萄酒生產總量之和的

2

3

，建立不等式，即可求得結論．

解答：解：設從2011年起，該廠第n年啤酒和葡萄酒年生產量分別為a_n噸和b_n噸，經過n年后啤酒和葡萄酒各年生產量的總量分別為A_n噸和B_n噸．
（1）設第n年啤酒和葡萄酒生產的年生產量為D_n噸，依題意，an=16000(1-50%)n-1=

32000

2n

，bn=1000(1+100%)n-1=500×2ⁿ，（n∈N^*），（4分）
則D_n=a_n+b_n=

32000

2n

+500×2ⁿ=500(

64

2n

+2n)≥500×2

64 2n ×2n

=8000，
當且僅當

64

2n

=2n，即n=3時取等號，
故2013年啤酒和葡萄酒生產的年生產量最低，為8000噸．（7分）
（2）依題意，

Bn

An+Bn

≥

2

3

，得B_n≥2A_n，
∵An=

16000[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=32000•

2n-1

2n

，Bn=

1000[1-2n]

1-2

=1000(2n-1)，
∴1000（2ⁿ-1）≥32000•

2n-1

2n

×2，
∵2ⁿ-1＞0，∴2ⁿ≥64=2⁶，∴n≥6，
從第6年起，葡萄酒各年生產的總量不低于啤酒各年生產總量與葡萄酒各年生產總量之和的

2

3

．（15分）

點評：本題考查數列知識的運用，考查利用數學知識解決實際問題，考查數列的通項與求和，屬于中檔題．