Question

（2013•杭州二模）設P為函數f（x）=sin（πx）的圖象上的一個最高點，Q為函數g（x）=cos（πx）的圖象上的一個最低點，則|PQ|最小值是（　　）

• A．

  π2 4 +4

• B．2
• C．

  17

  2

• D．2

  2

Answer 1

分析：分別令f（x）=1，g（x）=-1，可求得P、Q點的坐標，再用兩點間距離公式可把|PQ|表示出來，由二次函數的性質可求得其最小值．

解答：解：令f（x）=sin（πx）=1，則πx=

π

2

+2k1π，解得x=

1

2

+2k₁，k₁∈Z，
所以P（

1

2

+2k₁，1），
令g（x）=cos（πx）=-1，則πx=π+2k₂π，解得x=1+2k₂，k₂∈Z，
所以Q（1+2k₂，-1），
所以|PQ|=

( 1 2 +2k1-1-2k2)2+(1+1)2

=

[2(k1-k2)- 1 2 ]2+4

，
因為k₁，k₂∈Z，所以k₁-k₂∈Z，
所以當k₁=k₂時，|PQ|取得最小值為

1 4 +4

=

17

2

，
故選C．

點評：本題考查正、余弦函數的圖象、兩點間距離公式，考查數形結合思想，屬中檔題．