Question

16、如圖，將兩塊三角板拼接成直二面角A-CB-D，其中DB⊥CB，∠DCB=30°，AB=AC，AB⊥AC，E、F分別是AB、BC的中點．
（1）求證：EF∥平面ACD；
（2）求證：平面DEF⊥平面ABD．

Answer 1

分析：（1）由已知中，E、F分別是AB、BC的中點，根據三角形中位線定理，我們易得到EF∥AC，結合線面平行的判定定理，我們即可得到EF∥平面ACD；
（2）由已知中兩塊三角板拼接成直二面角A-CB-D，其中DB⊥CB，∠DCB=30°，AB=AC，AB⊥AC，我們易證明DB⊥AC，由（1）中的結論，我們進一步可以得到EF⊥平面ABD，結合面面垂直的判定定理，即可得到平面DEF⊥平面ABD．

解答：證明：（1）∵E，F分別為AB，CB中點，∴EF∥AC，（3分）
∵EF不在平面ACD中，AC在平面ACD中，∴EF∥ACD中（6分）
（2）∵平面DBC⊥平面ABC，平面DBC\cap平面ABC=BC，DB⊥BC，DB在平面BCD中∴DB⊥平面ABC，（8分）
又AC在平面ABC中∴DB⊥AC，∵EF∥AC，（11分）
∴EF⊥BD，EF⊥AB，∵AB∩BD=B，∴EF⊥平面ABD，
又EF在平面DEF中，∴平面DEF⊥平面ABD．（14分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面位置關系的判定定理及證明步驟是解答此類問題的關鍵．